So überreichen wir als die drei Weisen, Euch, Mr Winterbottom, das Buch der Lügen. Es ist ein berühmtes Buch, das 973 Seiten hat, die von 1 bis 973 durchnummeriert sind. Auf jeder Seite steht nur ein einziger Satz. Auf Seite 1 steht: Dieses Buch enthält nur eine einzige falsche Behauptung. Auf Seite 2 steht: Dieses Buch enthält genau zwei falsche Behauptungen usw. durch das ganze Buch. Auf jeder Seite steht nur der eine Satz, daß das Buch genauso viele falsche Behauptungen enthält wie die Zahl, die diese Seite trägt. Auf welcher Seite, wenn überhaupt, steht die Wahrheit?

Lösung:

Auf Seite 972. Wenn alle Behauptungen auf den Seiten 1 bis 971 und die Behauptung auf Seite 973 falsch sind, dann sind das genau 972 falsche Behauptungen – wie auf Seite 972 behauptet.

Der Teiler

Die Drei Weisen haben ein Faible für Zahlen (Das wissen die Abenteurer bereits). Und so lesen sie mit großem Interesse einen Brief der Ihnen geschickt wurde. Darin wird ein Trick mit Zahlen beschrieben, allerdings nur unvollständig:

“Ich bitte einen Besucher, sich eine beliebige zweistellige Zahl auszudenken und diese mir nicht zu verraten. Dann soll er die Zahl viermal hintereinander schreiben, sodass eine achtstellige Zahl entsteht. Ich frage den Besucher anschließend nach seiner Lieblingsfarbe und seinem Geburtsdatum.“ 

„Nach kurzer Bedenkzeit behaupte ich, ich würde nun einen Teiler dieser Zahl kennen – eine zweistellige Zahl, die ich Euch hier aber noch nicht verraten möchte. Ich lasse den Besucher dann nachrechnen. Bis jetzt hat es immer gestimmt!”

Der erste Weise sagt “Ich glaube, es ist die 73. Die achtstellige Zahl ist durch 73 teilbar.”

Der Weise Nummer zwei ergänzt: “Sie müsste auf jeden Fall durch 13.837 teilbar sein.”

“13.837?”, entgegnet der dritte Weise. “Mit so großen Zahlen kann ich nicht rechnen. Aber 83 ist ganz sicher ein Teiler der achtstelligen Zahl.”

Lösung:

Die ersten beiden Weisen liegen richtig, die 73 und 13.837 als Teiler nennen. Was der Weise Nummer drei sagt (83 ist ein Teiler), stimmt hingegen nicht. Wir wählen eine beliebige zweistellige Zahl a aus und schreiben sie viermal hintereinander. Ergebnis ist eine achtstellige Zahl. Ist a zum Beispiel 17, lautet das Ergebnis 17171717 – oder in der besser lesbaren Version 17.171.717. Wir können diese Zahl auch als Summe von vier Zahlen schreiben:

17

+ 1.700

+ 170.000

+ 17.000.000

= 17.171.717

Diese vier Summanden entsprechen einer Multiplikation der Zahl 17 mit 1, 100, 10.000 beziehungsweise 1.000.000. Wir können daher auch schreiben:

17.171.717 = 1*17 + 100*17 + 10.000*17 + 1.000.000*17

Allgemein gilt für eine zweistellige Zahl a:

Achtstellige Zahl = 1*a + 100*a + 10.000*a + 1.000.000*a

Wenn wir a ausklammern, erhalten wir:

Achtstellige Zahl = a*(1 + 100 + 10.000 + 1.000.000)

Achtstellige Zahl = a*1.010.101

Interessant ist der Faktor 1.010.101. Wenn dieser durch 73 teilbar ist, muss auch die achtstellige Zahl durch 73 teilbar sein. Und das ist tatsächlich der Fall, denn 1.010.101 = 73*13.837. Also haben erster und zweiter Weise auf jeden Fall Recht. 1.010.101 ist jedoch nicht durch 83 teilbar, weshalb der dritte Weise falsch liegt.